1974'te Erzurum Oltu'da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Zonguldak'ta, lise tahsilini Oltu İmam Hatip Lisesinde tamamlamıştır. Celal Büyük, 1992'de Diyanet İşleri Başkanlığı'nda İmam-Hatip olarak göreve başladı. Bu süre zarfında, Ankara Hac-ı Bayram Camii İmamı Abdülkadir Şehitoğlu'ndan talim ve makam dersleri aldı. Daha sonra sırasıyla Ankara Haymana, Ankara Altındağ ve Bursa Osmangazi İlçelerinde İmam-Hatiplik yapmıştır. Celal Büyük, 2002 yılında Uludağ Üniversitesi İlahiyat Fakültesi'ni başarıyla bitirdi. Ardından, 2005 yılında İstanbul Haseki Eğitim Merkezi'nde eğitimini tamamladı. Aynı dönemde Marmara Üniversitesi'nde Din Eğitimi alanında yüksek lisansını tamamlamıştır.
Büyük, 2005-2006 Yılları arasında Denizli Honaz vaizliği yaptıktan sonra ilçe müftüsü olarak atanmıştır. Sırasıyla; 2006-2009 yıllarında Erzurum Horasan ve 2009-2013 yılları arasında Erzurum Tortum İlçe Müftülüğü görevlerinde bulunmuştur. 2013'ten itibaren Erzurum İl Müftü Yardımcılığı görevine atanmış ve yaklaşık 2 yıl Erzurum İl Müftülüğüne vekalet etmiştir. Daha sonra 2016-2019 yıllarında Adana Yüreğir İlçe Müftülüğü, 2019-2022 yılları arası İstanbul Bağcılar İlçe Müftülüğü ve 2022-2023 yılları arasında ise Ağrı İl Müftülüğü görevlerini üstlenmiştir.
Müftü Büyük, kariyeri boyunca çeşitli gazetelerde köşe yazarı olarak görev aldı. Ayrıca, ulusal yayın yapan Kardelen Tv'de yaklaşık 4 yıl boyunca program yapımcısı ve sunucusu olarak çalıştı. Şu anda Atatürk Üniversitesi İlahiyat Fakültesinde Din Eğitimi alanında doktora çalışmalarına devam etmektedir.
Müftü Büyük, 06 Ekim 2023 tarihinde yayınlanan Cumhurbaşkanlığı Kararnamesi ile Diyarbakır İl Müftüsü olarak atanmıştır. Evli olup iki çocuk babasıdır.